Matematika Diskrit (Relasi)

1. RELASI
1.1 Pengantar
Hubungan(relationship), antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah yang diambil, hubungan antara bilangan genap dan bilangan yang habis dibagi 2 dan sebagainya. Di dalam bidang ilmu komputer, dapat dicontohkan hubungan antara program komputer dengan peubah yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan (statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang kriptografi dan sebagainya (Munir,2001).
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi.

1.2 Relasi&Product Cartesian

Definisi 1.1 : untuk setiap himpunan A,B £, Perkalian kartesian (Cartesian Product) dari himpunan A dan B adalah A x B dimana {(a,b)| a A, b B}
Dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari AxB merupakan himpunan pasangan berurutan (order pairs). Untuk (a,b) dan (c,d) AxB maka (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a = c dan b = d .

Definisi 1.2 : Relasi biner R antara AxB adalah himpunan bagian dari AxB. Dinotasikan sebagai R (AxB).
Jika (a,b) R, digunakan notasi aRb yag artinya a dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a,b) R, maka digunakan notasi a b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R dan himpunan b disebut daerah hasil (range) dari R.
Jika A,B adalah himpunan berhingga maka perkalian AxB menghasilkan himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A|.|B| .

Definisi 1.3 : Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AxA
Dengan kata lain relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari AxA
Contoh-contoh :
1. Misalkan A={Amir,Budi,Cecep} adalah himpunan nama mahasiswa dan B={INF0421,INF0422,INF0423,INF0424} adalah himpunan kode matkul di Manajemen Informatika, berapa jumlah anggota yang terbentuk dari AxB?
2. Misalkan P={2,4,8,9,15} dan Q={2,3,4}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) R jika p habis dibagi q , bagaimana bentuk relasinya?
3. Tentukan x,y,z jika (2x,x+y,x-y-2z) = (4,-1,3)
4. Anggap A={1,2}. Tentukan a. A2 dan b. A3
5. Misalkan A={1,2} dan B = {a,b}. Tunjukkan apakah pernyataan dibawah ini sama dengan AxB ?
a. E=[{1,a},{1,b},{2,a},{2,b}] c. G=[(1,a),(1,b),(2,a),(b,2)]
b. F=[{a,1}{a,2}{b,1}{b,2}] d. H=[(1,a), (2,a), (1,b), (2,b)]
6. Diberikan A={1,2},B={x,y,z} dan C={3,4}. Tentukan AxBxC dan n(AxBxC)

1.3 Representasi Relasi
Selain dengan himpunan pasangan terurut, ada banyak cara untuk merepresentasikan relasi biner. Disini hanya disajikan tiga cara yang lazim yaitu, table, matriks dan graf berarah.
Representasi relasi dengan table
Jika relasi direpresentasikan dengan table, maka kolom pertama table menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil
Sebagai contoh :
Table 1.3
A B
Amir INF0422
Amir INF0421
Budi INF0221
Budi INF0422
Cecep INF0421

Representasi relasi dengan matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

Yang dalam hal ini

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1.3 dapat dinyatakan dengan matriks

yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221

Representasi relasi dengan graf berarah







Sifat-sifat dari relasi biner





1
0
1
0

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3. Menghantar (transitif)
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar bilamana (a,b) R dan (b,a) R, maka (a,c) R, untuk a, b, c A.
Contoh 2.8.
Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R da bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
a. R = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) }bersifat menghantar. Lihat pada table berikut :

Pasangan berbentuk
(a,b) (b,c) (a,c)
(3,2) (2,1) (3,1)
(4,2) (2,1) (4,1)
(4,3) (3,1) (4,1)
(4,3) (3,2) (4,2)

b. R = { (1,1), (2,3), (2,4), (4,2) } maka bersifatmenghantar karena (2,4) dan (4,2) R, tetapi (2,2) R, begitu juga (4,2) dan (2,3) R, tetapi (4,3) R.
c. R = { (4,5) } bersifat menghantar.
Contoh 2.9.
Relasi “habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga a = mb dan b = nc. Disini a = mnc, sehingga a habis membagi c. jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Ditinjau dari representasi relasi, relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya. Tetapi sifat menghantar pada graf berarah ditunjukan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

2.4 Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi. Dengan kata lain, jika R1 dan R2 masing – masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R1 R2 , R1 R2 , R1 - R2, R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 2.10.
Misalkan A = { a, b, c } dan B = { a, b, c, d }. Relasi R1 = { (a,a), (b,b), (c,c), dan relasi R2 = { (a,a), (a,b), (a,c), (a,d) } adalah relasi dari A ke B. kita dapat mengkombinasikan ke dua buah relasi tersebut untuk memperoleh

R1 R2 = { (a,a) }
R1 R2 = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d) }
R1 - R2 = { (b,b), (c,c) }
R2 – R1 = { (a,b), (a,c), (a,d) }
R1 R2 = { (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d) }

Jika relasi R1 dan R2 masing – masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

MR1 R2 = MR1 R2 dan MR1 R2 = MR1 R2


Yang dalam hal ini, operator “ ” berarti “atau” dan “ ” berarti “dan”.

Contoh 2.11.
Misalkan bahwa relasi R1¬ dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

dan
Maka matriks yang menyatakan MR1 R2 dan MR1 R2 adalah





2.5 Komposisi Relasi
Cara lain mengkombinasikan relasi adalah mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Komposisi relasi analog dengan komposisi fungsi.
Definisi 2.3.
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S, dinotasikan dengan R o S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
R o S = { (a,c)}│ a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S }

Contoh 2.12.
Misalkan R = { (1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8) } adalah relasi dari himpunan { 1, 2, 3 } ke himpunan { 2, 4, 6, 8 } dan S = { (2,u), (4,s), (4,t), (6,t), (8,u) } adalah relasi dari { 2, 4, 6 } ke himpunan { s, t, u }. Maka komposisi relasi R dan S adalah R o S = { (1,u), (1,t), (2,s), (2,t), (3,s), (3,t), (3,u) }
Jika relasi R1 dan R2 masing – masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah
MR1 o R2 = MR1 . MR2

Yang dalam hal ini operator “.” Sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “ ” dan tanda tambah dengan “ ”.

Contoh 2.13.
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh metrics

dan

Maka matriks yang menyatakan R1 o R2 adalah




2.6 Relasi n-ary
Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener). Jika n = 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi = 2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting didalam basisdata.
Definisi 2.4.
Misalkan A1, A2, ….An adalah himpunan. Relasi n-ary R pada himpunan – himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1 x A2 x … x An, atau dengan rotasi R A1 x, A2 x, ….x An. himpunan A1, A2, ….An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
Contoh 2.14.
Misalkan
NIM = { 13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021, 13598025 }
Nama = { Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan }
MatKul = { Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer }
Nilai = { A, B, C, D, E }
Berturut – turut adalh himpunan Nomor Induk Mahasiswa, himpunan nama – nama mahasiswa, himpunan nama – nama mata kuliah, dan himpunan nilai mata kuliah. Relasi MHS yang terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai) mempresentasikan hubungan antara nomor induk mahasiswa, namanya, mata kuliah yang diakbilnya, dan nilai mata kuliah. Satu contoh relasi yang bernam MHS adalah


MHS = { 13598011, Amir, Matematika Diskrit, A },
{ 13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B },
{ 13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D },
{ 13598015, Irwan, Algoritma, C },
{ 13598015, Irwan, Struktur Data, C },
{ 13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B },
{ 13598019, Ahmad, Algoritma, E },
{ 13598021, Cecep, Algoritma, A },
{ 13598021, Cecep, Arsitektur Komputer, B },
{ 13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B },
{ 13598025, Hamdan, Algoritma, A, B },
{ 13598025, Hamdan, Struktur Data, C },
{ 13598025, Hamdan, Arsitektur Komputer, B }
Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk table 2.4.

Table 2.4
NIM Nama MatKul Nilai
13598011
13598011
13598014
13598015
13598015
13598015
13598019
13598021
13598021
13598025
13598025
13598025
13598025 Amir
Amir
Santi
Irwan
Irwan
Irwan
Ahmad
Cecep
Cecep
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Hamdan Matematika Diskrit
Arsitektur Komputer
Arsitektur Komputer
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer
Algoritma
Algoritma
Arsitektur Komputer
Matematika Diskrit
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer A
B
D
C
C
B
E
A
B
B
A
C
B

Basisdata (database) adalah kumpulan table. Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relation database). Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada. Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file. Suatu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah file. Dengan kata lain, secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.

Teori basisdata didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pembahasan teori basisdata harus dilepas pada implementasi fisiknya.

Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci (key). Pada contoh 2.4 di atas, NIM merupakan kunci. Atribut nama bukan atribut kunci karena orang yang berbeda mungkin mempunyai nama yang sama.
Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut perintah query. Satu contoh query misalnya,

“tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskrit”
“tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM = 13598015”
“tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

Pada hakekatnya, query terhadap basisdata relasion dapat dinyatakan secara abstrak dengan oprasi pada relasi n-ary. Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah seleksi, proyeksi, dan join.



Seleksi
Opreasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu.
Operasi:
Contoh 2.15.
Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskrit. Operasi seleksinya adalah
MatKul = “matematika diskrit” (MHS)
Yang menghasilkan tupel.

(13598011, Amir Matematika Diskrit, A) (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B).

Proyeksi
Operasi proyeksi memiliki kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
Operator:

Contoh 2.16.
Operasi proyeksi
nama, MatKul, nilai (MHS)
Menghasilkan tabel 2.5. sedangkan operasi proyeksi
NIM, Nama (MHS)
Menghasilkan tabel 2.6.

Tabel 2.5.
Nama MatKul Nilai
Amir
Amir
Santi
Irwan
Irwan
Irwan
Ahmad
Cecep
Cecep
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Hamdan Matematika Diskrit
Arsitektur Komputer
Algoritma
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer
Algoritma
Algoritma
Arsitektur Komputer
Matematika Diskrit
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer A
B
D
C
C
B
E
B
B
B
A
C
B


Tabel 2.6.
NIM Nama
13598011
13598014
13598015
13598019
13598021
13598025 Amir
Santi
Irwan
Ahmad
Cecep
Hamdan

Join
Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila kedua tabel mempunyai atribut yang sama. Sebagai contoh, suatu tabel mengandung NIM, Nama, Jenis Kelamin, dan tabel ini mengandung NIM, Nama, MatKul, Nilai. Gabungan keduanya menghasilkan tabel baru yang mengandung atribut NIM, Nama, Jenis Kelamin, MatKul, dan Nilai.
Operator:

Contoh 2.17.
Misalkan relasi MHS 1 dinyatakan dengan tabel 2.7 dan relasi MHS 2 dinyatakan dengan tabel 2.8. opersi join
NIM, Nam MHS 1, MHS 2)
Menghasilkan tabel 2.9.

Tabel 2.7
NIM Nama JK
13598001 Hananto L
13598002 Guntur L
13598004 Heidi W
13598006 Harman L
13598007 Karim L

Tabel 2.8
NIM Nama MatKul Nilai
13598001 Hananto Algoritma A
13598001 Hananto Basisdata B
13598004 Heidi Kalkulus I B
13598006 Harman Teori Bahasa C
13598006 Harman Agama A
13598009 Junaidi Statisitik B
13598010 Farizka Otomata C

Tabel 2.9
NIM Nama JK MatKul Nilai
13598001 Hananto L Algoritma A
13598001 Hananto L Basisdata B
13598004 Heidi W Kalkulus I B
13598006 Harman L Teori Bahasa C
13598006 Harman L Agama A



2.7 Fungsi
Fungsi adalah jenis khusus dari relasi. Definisi fungsi adalah sebagai berikut:

Definisi 2.5
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika untuk setiap elemen a di dalam A terdapat satu elemen tunggal b di dalam B sedemikian sehingga (a,b) Є f. kita tulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B, kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B.

Gambar 2.3 merepresentasikan fungsi dari A ke B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil ( range/codomain) dari f. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan prabayangan (pre-image) dari b.


Gambar 2.3 fungsi f memetakan A ke B

Contoh 2.18
Relasi
f = { (1,u),(2,v),(3,w) }

dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B.


Contoh 2.19.
Relasi
f = { (1,u),(2,v),(3,w)}
dari A = {1,2,3,4} ke B = {u,v,w} bukan fungsi dari A ke B, karena daerah asal dari f{1,2,3} tidak sama dengan A.

Contoh 2.20.
Relasi
f = { (1,u),(2,v),(3,w) }
dari A = {1,2,3 }ke B = {u,v,w} bukan fungsi dari A ke B, karena dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v ( ingat definisi fungsi atas ).

Contoh 2.21.
Relasi
f = {(1,u),(2,u),(3,v)}
Dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A.
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a) ≠ f(b) bilamana a ≠ b. Gambar 2.4 mengilustrasikan fungsi satu-ke-satu.



Gambar 2.4 fungsi satu-ke-satu

Contoh 2.22.
Relasi
f = {(1,w),(2,u),(3,v)}
dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w,x} adalah fungsi satu-ke-satu,

Relasi
f = {(1,w),(2,u),(3,v)}
dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} juga fungsi satu-ke-satu, tetapi relasi f = {(1,u),(2,u),(3,v)}

dari A ={1,2,3} ke B = {u,v,w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2)=u.
Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain, fungsi f adalah pada bila semua elemen B merupakan daerah hasil dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. Gambar 2.5 mengilustrasikan fungsi pada.

Gambar 2.5 fungsi pada

Contoh 2.23.
Relasi
f = {(1,u),(2,u),(3,v)}

dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} bukan fungsi pada, karena w tidak termasuk ke dalam daerah hasil dari f.

Relasi
f = {(1,w),(2,u),(3,v)}

dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}merupakan fungsi pada, karena semua elemen B termasuk ke dalam daerah hasil f.

Fungsi f dikatakan berkoreponden satu-ke-satu atau bijektif (bijection) jika ia satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh 2.24.
Relasi
f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi yang berkorespoden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Gambar 2.6 memperlihatkan perbedaan antara fungsi satu-ke-satu tetapi bukan pada, fungsi pada tetapi bukan satu-ke-satu, bukan fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada, dan bukan fungsi.




Gambar 2.6 Perbedaan empat tipe korespondensi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dan f. Balikan fungsi dilambangkan dendan f -1 . misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b.

Contoh 2.25
Relasi
f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah

f -1 = {(u,1),(w,2),(v,3)}

karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kita juga dapat melakukan komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpuna B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpuna C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

(f o g)(a) = f (g(a))

Contoh 2.26.
Diberikan fungsi

g = {(1,u),(2,u),(3,v)}

yang memetakan A = {1,2,3} ke B {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y),(v,x),(w,z)}
yang memetakan B = {u,v,w} ke C {x,y,z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah

f o g = {(1,y),(2,y),(3,x)}

Soal Latihan

1. A = {2,3,4} ke B = {0,1,2,3} yang dalam hal ini pasangan terurut (a,b) Є R jika dan hanya jika a > b.
2. Tuliskan anggota dari relasi R pada {1,2,3,4} yang didefinisikan oleh (x,y) Є R jika x2 ≥ y.
3. Nyatakan relasi R ={(1,2),(2,1),(3,3),(1,1),(2,2)} pada X = {1,2,3} dalam bentuk tabel, matriks, dan graf berarah.
4. Untuk tiap relasi pada {1,2,3,4} berikut, tentukan apakah ia refleksif, setangkup, tak-setangkup, dan menghantar.
a) {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
b) {(2,4),(4,2),}
c) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
d) {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4)}
5. Tentukan apakah relasi R pada himpunan orang bersifat refleksif, setangkup, tak-setangkup, dan / atau menghantar, yang dalam hal ini (a,b) Є R jika dan hanya jika
a) a lebih tinggi daripada b
b) a dan b lahir pada hari yang sama
c) a mempunyai nama pertama yang sama dengan b
6. Misalkan R adalah relasi {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,1)} dan S adalah relasi {(2,1),(3,1),(3,2),(4,2),(4,2)}. Tentukan S o R dan R o S.
7. Misalkan R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dan S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4)} adalah relasi dari {1,2,3} ke {1,2,3,4}. Tentukan
a). R S
b). R S
c). R – S
d). S – R
e). R S
8. Misalkan R adalah relasi pada himpunan orang yang terdiri dari pasangan (a,b) yang dalam hal ini a adalah ayah dari b. Misalkan S adalah relasi pada himpunan orang yang terdiri dari pasangan (a,b) yang dalam hal ini a dan b adalah saudara kandung. Nyatakan R o S.
9. Nyatakan pasangan terurut dari relasi pada {1,2,3} yang berkoresponden dengan matriks berikut:
a). b).
10. Gambarkan graf berarah dari relasi yang dinyatakan oleh matriks pada soal nomor 9.
11. Misalkan bahwa relasi R dan S pada himpuna A dinyatakan oleh matriks

R = dan S =
Tentukan matriks yang menyatakan
a). R S
b). R S
c). R o S

12. jika diberikan
g = {(1,b),(2,c),(3,a)}
adalah fungsi dari A = {1,2,3} ke B = {a,b,c,d} dan
f = {(a,x),(b,x),(c,z),(d,w)}
adalah fungsi dari B ke C = {w,x,y,z}, tuliskan f o g sebagai himpunan pasangan terurut.

13. misalkan f adalah fungsi dari X = {0,1,2,3,4,5} ke X yang didefinisikan oleh
f(x) = 4x mod 6
Tuliskan f sebagai himpunan pasangan terurut. Apakah f satu-ke-satu atau pada?

Download (*.ppt)